[선형대수] 벡터의 내적

## 이 문서는 서울시립대학교 박의용 교수님의 강의인 기초 선형대수학을 정리한 내용입니다.

R^2의 내적의 뜻과 성질

R^2에서 내적은 각각의 성분의 곱을 합한것과 같다.

(예) u =(2,3), v= (-2,5)에 대해서 내적을 하면, 2(-2)+35 = 11이 된다.

내적의 성질은 아래 그램과 같다.

각각의 첫 번째 성분들의 곱을 하고, 두 번째 성분들을 곱을 해서 더하면 된다.

내적으로부터 다음과 같은 개념을 생각할 수 있다.

u의 길이를, u와 u의 내적에 루트를 씌운 거라고 생각하자.

위의 예제에서 시점을 원점이라고 두는 화살표를 표시하면 가로가 4이고, 세로가 3이다. 그러면 원점에서 (4,3)까지의 거리는 4의 제곱 더하기 3의 제곱의 루트니, 화살표의 길이가 되며 이는 피타고라스 정리를 통해 확인할 수 있다.

이와 비슷하게 두 벡터 v와 u의 거리도 마찬가지로 이해할 수 있는데, 두 벡터 사이의 거리를 다음과 같이 정의한다.

마지막으로 각도에 대해서 이야기 해보자.

다음과 같이 정의할 수 있다. 이 사실로부터 우리가 알 수 있는 것은 우리가 내적을 알고 있으면, 두 벡터 사이의 길이와 거리 그리고 각도에 대해서 이야기할 수 있다는 이야기이다.

이러한 아이디어를 R^2에서가 아니고 벡터공간 R^n에서 이야기해보자.

u와 v의 내적은 각각의 성분의 곱의 합으로 정의되며, u=(2,3,4,5) v=(-2,5,2,-3)이 R^4에 있을 때, u와 v의 내적은 2(-2) + 35 + 42 + 5(-3)으로 4가 된다. 그리고 R^n에서의 내적도 위에서 정리한 R^2의 내적과 동일한 성질을을 만족한다.

내적을 이용하여 R^n의 벡터들의 길이, 각도, 거리를 정의하자.

이는 R^2에서의 거리와 길이를 정의한것에 확장이다.

마지막으로 각도에 대해서 알아보자.

*코사인 값은 항상 -1과 1사이에 있어야 하는데, 코시 슈바르츠 부등식을 이용하면 항상 코사인 값이 -1하고 1사이에 있다는것을 보장할 수 있다.

두 벡터 사이의 값이 직각이라면, 직교한다라고 이야기하며 u,v가 직교하면 세타가 90도이며, 코사인 값이 0이 된다. 따라서 두 내적값이 0이다라는 것은 영이 아닌 두 벡터 u,v가 직교한다와 동치이다.