[선형대수] 벡터의 내적 - 직교집합

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이 문서는 서울시립대학교 박의용 교수님의 강의인 기초 선형대수학을 정리한 내용입니다.

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내적이라는 것은 두 벡터가 있으면, 두 벡터의 각각의 성분의 곱의 합으로 정의된다. 특히나 두 벡터가 직교한다는 것은 두 벡터의 내적이 0이라는 것과 동치라는 것을 말했다. 오늘은 직교집합에 대해서 이야기해보자.

직교집합의 정의

즉, 내적해서 항상 0이 되는 직교집합은 벡터들이 서로 수직이 되는 벡터들의 집합이라는 이야기이다. 정규 직교집합이라는 뜻은 S가 직교집합이면서 모든 벡터가 단위벡터라고 하면 정규직교집합이라고 한다.

위의 예시 처럼 u,v,w 세 백터는 서로 다른 어떤 벡터와도 내적하더라도 0이되니 집합은 위의 정의 처럼 정규 직교집합이된다. 그럼 이러한 정규 직교집합이 있으면 어떤 좋은 점이 있는가?

0이 아닌 벡터들이 직교집합이라고 한다면 일차독립이라는 것을 바로 알 수 있다.

일차독립이라는 것은 앞에 적당한 스칼라들을 곱하고 더해서 0이 되었을 때, 그 앞에 있는 스칼라가 모두 0일 수 밖에 없다는 것을 보여줘야 하는데 직교집합일 경우 그런것을 보여줄 필요 없이 항상 일차독립이다.

직교기저의 뜻

어떤 벡터공간의 기저는 생성집합이면서 일차독립이 되는 것을 기저라고 했다.

직교기저라는것은 기저이면서 직교집합이 되면 직교기저라고 한다. 그럼 직교기저를 알면 어떤 부분이 좋은가?

다음과 같은 상황을 한 번 생각해보자.

벡터공간 H가 있다. 운이 좋게도 B가 H의 직교기저라고 하자. H에 있는 벡터하나를 선택하고 이것을 v라고 했을때, 이 v는 당연히 기저들의 일차결합으로 표현된다. 그 때의 상수 값, 스칼라 값이 내적으로써 다음과 같이 주어진다라는 것이 이 정리의 이야기이다. 따라서 우리가 직교기저를 알고 있으면 벡터공간의 어떤 벡터v를 이 기저의 일차결합으로 표현할 때, 스칼라 값을 내적을 통해 간단하게 계산할 수 있다.

위의 예시와 같이 v를 기저들의 일차결합으로 굉장히 쉽게 표현할 수 있다.이것이 직교기저를 알면 얻을 수 있는 좋은점 중 하나이다.

직교기저가 우리한테 유용하다는 것을 알았다. 그렇다면 이 직교기저들은 어떻게 구하는가?

벡터공간 H의 기저를 B라 두고, 기저의 개수가 두 개이니 벡터공간, 부분공간 H의 차원은 2차원이다. 이때 직교기저를 찾아보자.

이렇게 스칼라를 내적들의 분수로 정의하면 정규직교기저를 찾을 수 있다.

k차원 벡터공간에 대해서도 같은 식으로 이야기할 수 있으며, 이것을 일반적인 기저로부터 직교기저를 얻는 방법인 그람-슈미트 직교화 과정이라고 한다.

위에서 정규직교기저를 찾는 아이디어를 활용하면 {u1,….uk}의 아무 벡터 ui와 uj를 뽑아서 내적했을 때 항상 0이 되는 것을 확인할 수 있다. 따라서 ui부터 uk는 H의 직교기저를 얻을 수 있다.

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